La curva si sta flettendo!

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dott. Carlo Schillaci

Alcuni esperti (e non!) in questi ultimi giorni stanno usando questa espressione per indicare che il “numero dei contagi è in diminuzione”, ma, è sotto gli occhi di tutti che i contagi stanno ancora aumentando: cerchiamo di fare chiarezza “matematica”.

Attenzione! L’articolo può essere letto anche da chi non ha un buon rapporto con la matematica, da chi non ricorda la matematica studiata a scuola e da chi non conosce il concetto di funzione e di derivata!

Consideriamo una serie temporale, cioè una serie di valori per ciascuna unità temporale scelta (giorno, ora, anno, …): si dice crescente se, al trascorrere del tempo, i valori diventano via via maggiori. Ad esempio:

Una serie temporale si dice decrescente se, al trascorrere del tempo, i valori diventano via via minori. Ad esempio:

Il picco di una serie temporale è il massimo valore osservato in un dato intervallo temporale. Per i più esperti, si fa notare che questo esiste necessariamente! Il punto di picco è il momento in cui si è osservato tale picco. Ad esempio:

Il picco è 85, i punti di picco sono Giorno 6 e Giorno 7.
Si osserva che immediatamente prima del picco (fino al Giorno 6) la serie è crescente e immediatamente dopo (da Giorno 7) è decrescente: ciò costituisce un criterio per la ricerca del picco.

La differenza tra i valori di due unità temporali successive (il valore di un Giorno meno il valore del Giorno precedente) si dice variazione: variazioni positive indicano serie crescenti, variazioni negative serie decrescenti. Ad esempio, riprendendo le Serie 1 e 2:

Come si nota le variazioni assumono valori differenti in corrispondenza delle unità temporali e costituiscono di per sé un’altra serie temporale che può dare indicazioni sulla velocità di variazione della serie di partenza. Ad esempio:

Si osserva che le due serie sono entrambe crescenti in quanto presentano variazioni positive ma la prima è più “lenta” della seconda. Calcoliamo, quindi, le variazioni delle variazioni delle Serie 4 e 5:

La “lentezza” della prima serie rispetto alla seconda si nota anche dai valori minori delle variazioni delle variazioni in corrispondenza della stessa unità temporale.

Si ha un flesso in una serie temporale quando le variazioni delle variazioni passano da positive a negative (o viceversa), cioè quando una serie temporale, pur rimanendo crescente (o decrescente) cambia “velocità” di variazione. Si dice punto di flesso il momento in cui si è osservato tale flesso. Ad esempio:

Quindi la Serie 6 è crescente in quanto le variazioni sono tutte positive, ma le variazioni delle variazioni passano da positive (fino a Giorno 3) a negative: allora 32 è un flesso e Giorno 4 è il punto di flesso.

Analizziamo cosa accade nella Serie 3 che presenta un picco:

• Le variazioni sono positive fino a Giorno 6, quindi la serie è crescente;
• Le variazioni sono negative da Giorno 8, quindi la serie è decrescente;
• Quindi Giorno 7 (ma anche 6!) è punto di picco e il picco è 85;
• Le variazioni delle variazioni sono positive fino a Giorno 3 poi negative da Giorno 5, allora Giorno 4 è un punto di flesso;
• Si noti che esiste un altro punto di flesso a Giorno 10.

Supponiamo che oggi sia Giorno 6: la serie è ancora crescente ma abbiamo riscontrato un punto di flesso a Giorno 4: possiamo allora esclamare “La curva si sta flettendo!”. Immaginiamo quindi che a breve raggiungeremo il picco e che successivamente inizierà la sospirata decrescita.

Attenzione al secondo punto di flesso di Giorno 10: dopo il punto di picco di Giorno 7 e fino al punto di flesso di Giorno 10 ci sarà una decrescita “veloce”, successivamente la decrescita sarà più lenta.

L’intento di questo intervento era parlare di derivata senza parlare di derivata: chi conosce i concetti lo ha riconosciuto subito (picco sarebbe massimo relativo, variazione della variazione la derivata seconda, …). Si tratta di un tentativo di parlare di matematica a tutti: da qui la scelta di non entrare nei dettagli e di lasciare spazio aperto alla riflessione!

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